Gegeben ist die Funktion mit maximaler Definitionsmenge . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von für und geben Sie an. (5BE)
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Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen
Deine Aufgabe ist es die Schnittpunkte der Funktion mit den Koordinatenachsen zu bestimmen.
Dazu musst du den y-Achsenabschnitt berechnen.
Setze in gleich .
Rechne zuerst unter der Wurzel.
Du stellst fest du kannst nicht berechnen. Zerteile in . Somit kannst du teilweise radizieren.
Klammere aus.
Runde dein Ergebnis, damit du den Punkt später einzeichnen kannst.
Somit hat der y-Achsenabschnitt die Koordinaten .
Als Zweites musst du die Nullstellen von berechnen! (d.h. die Schnittpunkte von mit der x-Achse)
Setze und löse die Gleichung.
Somit hat eine Nullstelle mit den Koordinaten .
Grenzwert von gegen
Berechne den Limes von gegen !
Du berechnest zuerst die Diskriminante.
Die Wurzel von bleibst .
Du bildest letztlich noch die Differenz von und .
Der Grenzwert von für ist .
Bestimmung von
Bestimme den Wert von für . Setze in die Funktion ein.
Der Wert von beträgt .
Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion von und geben Sie die maximale Definitionsmenge von an.Bestimmen Sie und beschreiben Sie, welche Eigenschaften von aus diesem Ergebnis folgt. (zur Kontrolle: ) (5BE)
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Ableitung von
Bestimme die Ableitung von .
Da du eine Funktion mit Wurzel ableiten willst, musst du die Wurzel in eine Potenz umschreiben.
Anschließend kannst du mit der Kettenregel ableiten.
Maximale Definitionsmenge von
Bestimme die maximale Definitionsmenge von . Damit du die Definitionsmenge bestimmen kannst, musst du feststellen welche Bereiche ausgeschlossen werden müssen. Da deine Funktion eine Wurzel enthält, darf unter der Wurzel schoneinmal keine negative Zahl stehen. Löse die Ungleichung:
Zudem kannst du nicht durch teilen. Also darf der Nenner von nicht gleich sein. Löse diese Gleichung und schließe den Wert aus der Definitionsmenge aus:
Die Definitionsmenge von ist demnach .
Bestimmung von Grenzwert von für
Bestimme den Limes für .
Beachte, dass hier wegen des Definitionsbereichs nur die Annäherung von links möglich ist. Du überlegst dir zuerst, dass der Nenner der Funktion den Grenzwert besitzt. Der Grund dafür ist . Die Werte nähern sich also der an . Allerdings nur von rechts, das heißt es sind positive Werte nahe der .
durch Zahlen nahe an ergibt .
Mit der Information kannst du jetzt interpretieren: Da die Ableitung sehr groß und positiv ist, steigt die Funktion sehr stark an und vorallem steigt sie unendlich an.
Geben Sie das Monotonieverhalten von und die Wertemenge von an. (2BE)
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Das Monotonieverhalten von
Gib das Monotonieverhalten von an. Der Nenner und der Zähler der Ableitungsfuntion ist größer , deshalb ist die Ableitung von positiv. Es gilt:
Das bedeutet ist streng monoton steigend.
Die Wertemege von
Bestimme die Wertemenge von . Du kannst dir überlegen, dass du durch deinen Definitionsbereich weißt die Funktion geht bis zu . Setze in ein.
Zusätzlich hast du den Limes für bestimmt, welcher ist.
Stelle den Wertebereich der Funktion auf.
Die Werte von reichen von bis .
Geben Sie an und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf die folgenden Aufgaben: ). (3BE)
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Funktionswert von an der Stelle :
Setzte in die Funktion ein.
Der Funktionswert von an der Stelle beträgt .
Eintragen der Punkte von ins Koordinatensystem
Zeichne den Graph von anhand der Information, die du zuvor berechnet hast. Der Graph soll im Bereich von gezeichnet werden.
1.Zeichne Nullstelle, y-Achsenabschnitt ein 2.Zeichne weitere bekannte Punkte ein: , 3.Beachte, dass die Funktion streng monoton steigend ist. 4.Beachte, dass die Funktion für gegen geht. 5.Verbinde oder setze Notfalls noch weitere Punkte in die Funktion ein, um genauer zeichen zu können.
Die Funktion ist in umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von an und zeigen Sie, dass gilt. (4BE)
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Definitionsbereich der Umkehrfunktion von
Bestimme den Definitionsbereich der Umkehrfunktion . Hierzu musst du nur wissen, dass durch das Umkehren einer Funktion die Wertemenge und die Definitionsmenge getauscht werden. Das heißt, dass die Wertemenge von zur Definitionsmenge von wird.
Die Definitionsmenge von reicht von bis .
Umkehrfunktion von
Berechne die Umkehrfunktion ! Löse dafür die Gleichung nach auf.
Tausche und .
Die Umkehrfunktion von ist: